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西方行列式的发展:范德蒙的生平(1)(The Develop
上传时间:2020-08-03点击:326次

连结:西方行列式的发展:贝祖的研究

范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde) 1735年生于巴黎;巴黎,也是他在1796年告别人世之地。范德蒙的生日与忌日,很巧合地,都是台湾的国定假日,分别是2月28日与1月1日,因此,当我们在台湾放假时,除了原有的纪念意义外,也不妨遥想这位数学家的贡献,让放假增添一点数学风味。

范德蒙的父亲是一位医生,拥有不错的社会地位与经济收入。但子承衣钵却不是这位父亲的选择,自范德蒙年幼时,他就希望也鼓励范德蒙成为一位音乐家。在父亲的鼓舞下,数学并不是范德蒙年轻时感兴趣的对象,小提琴才是。

直到35岁那年,受到数学家贝尔丹 (Alexis Fontaine des Bertins, 1704-1771)的热情感召,才激起范德蒙对数学研究的兴趣。当年,他就以非会员的身份在法国科学院宣读一篇数学论文,这可说是一份殊荣。或许是贝尔丹的感召与科学院的光环,激发了范德蒙的研究潜能,他在短短两年内就提交了四篇论文给科学院,奠定了他在数学史中的地位。1771年,范德蒙就被正式选为科学院的一员。35岁之前对数学没什幺贡献的音乐家,竟在36岁成了国家科学院的会员,这恐怕是空前绝后的纪录了!范德蒙在提交给科学院的四篇论文中,第一篇 (1771)提出了方程式之根的 \(m\) 次和公式,并证明了当 \(n\) 是小于 \(10\) 的质数时,\(x^n-1=0\) 的解可用根式表达。第二篇 (1771)则是讨论棋盘上骑士漫游的问题,这主题看起来没什幺实际应用,比较像是趣味数学,但其内在数学结构却是和今日的拓朴学有关。第三篇 (1772)的内容与今日的高中数学有颇多的连结,值得我们进一步了解。

\({\left[ p \right]^n} = p(p – 1)(p – 2) \cdots\cdots (p – n + 1)\),这是范德蒙定义的新符号,

第三篇的主要内容就是这符号的诸多运算与性质。

当 \(p\)与 \(n\) 是正整数且 \(p\ge n\) 时,范德蒙的符号 \([p]^n\) 就等同于今日的 \(\frac{{p!}}{{(p – n)!}}\)。

显然,当 \(p=n\) 时,\([n]^n\) 就是 \({n!}\)。

在范德蒙所处的年代,阶乘并没有专属的符号,因此,范德蒙可说是给出阶乘符号的第一人。

此外,范德蒙的符号 \([p]^n\) 还有相当大的操作性与便利性。

比如说,由定义可知 \([p]^n=[p]^m[p-m]^{n-m}\) ,仿照指数律零次方与负数次方的定义方式,

令 \(m=0\),范德蒙就得到了 \([p]^0=1\);令 \(n=0\) 且 \(m=-n\),则 \({\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{1}{{{{\left[ {p + n} \right]}^n}}}\)。

有了 \([p]^0=1\) 与 \({\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{1}{{{{\left[ {p + n} \right]}^n}}}\) 后,范德蒙再进一步推导出许多运算公式:

\({\left[ {p + 1} \right]^n} = {\left[ p \right]^n} + n{\left[ p \right]^{n – 1}}\)、\({\left[ {p + 2} \right]^n} = {\left[ p \right]^n} + 2n{\left[ p \right]^{n – 1}} + n(n – 1){\left[ p \right]^{n – 2}}\)
\({\left[ {p + 3} \right]^n} = {\left[ p \right]^n} + 3n{\left[ p \right]^{n – 1}} + 3n(n – 1){\left[ p \right]^{n – 2}} + n(n – 1)(n – 2){\left[ p \right]^{n – 3}}\) \(\cdots\)

\({\left[ {p + n} \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = 1\)
\({\left[ {p + m + n} \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = {\left[ {p + m + n} \right]^m}{\left[ p \right]^{ – m}}\)
\(\displaystyle{\left[ q \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{{{{\left[ p \right]}^{ – \infty }}{{\left[ q \right]}^{ – \infty }}}}{{{{\left[ {p + n} \right]}^{ – \infty }}{{\left[ {q – n} \right]}^{ – \infty }}}} = \frac{{(p + n + 1)(q – n + 1)(p + n + 2)(q – n + 2) \cdots }}{{(p + 1)(q + 1)(p + 2)(q + 2) \cdots }}\)
\(\vdots\)

在上述的定义与公式中,\(p\) 与 \(n\) 不见得要是正整数。

例如,当 \(p=\frac{1}{2}\)、\(n=2\) 时,依定义可求出 \({\left[ {\frac{1}{2}} \right]^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} -1)=-\frac{1}{4}\)。

有了这些公式之后,特别是 \({\left[ q \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{{(p + n + 1)(q – n + 1)(p + n + 2)(q – n + 2) \cdots }}{{(p + 1)(q + 1)(p + 2)(q + 2) \cdots }}\) 这个无穷连乘积,

范德蒙就可以将许多无穷连乘积用他新创的符号简洁地表示出来,

例如将 \(q = n = \frac{1}{2}\)、\(p=\frac{-1}{2}\) 代入,

就得到 \(\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{\frac{1}{2}}}{\left[ {\frac{{ – 1}}{2}} \right]^{\frac{{ – 1}}{2}}} = \frac{{1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdots }}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdots }} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots }}{{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots }}\),

这正是将大名鼎鼎的华里斯 (Wallis)公式 \(\displaystyle\frac{\pi }{2} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots }}{{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots }}\)

表示成  \(\displaystyle\frac{\pi }{2} = {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{ – 1}}{2}} \right]^{\frac{{ – 1}}{2}}}\)(见下图)。

除此之外,范德蒙也将 \(\displaystyle\sqrt 2=\frac{{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdots }}{{2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 14 \cdots }}\)

表示成 \(\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{4}}} \cdot {\left[ {\frac{{ – 1}}{2}} \right]^{\frac{{ – 1}}{4}}}\)。

西方行列式的发展:范德蒙的生平(1)(The Develop

连结:西方行列式的发展:范德蒙的生平(2)

参考文献:

O’Connor, John and Robertson, Edmund (2001). “Alexandre-Théophile Vandermonde”, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Vandermonde.htmlVandermonde, Alexandre-Théophile (1772). “Mémoire sur des Irrationnelles de différens ordres avec une application au cercle”, http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?O=30000000035703
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