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西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen
上传时间:2020-08-03点击:304次

连结:西方行列式的发展:范德蒙的生平(2)

范德蒙1772年提交法国科学院的论文〈关于消去法的报告〉(Mémoire sur l’Élimination)是数学家首度将行列式运算作为研究主题的论文。范德蒙一开始就对他的符号给出了定义 (见图一):

\(\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ b \end{array}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ a \end{array}\)

\(\left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}\)

\(\begin{array}{ll} \left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\left. {\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}} &= \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,a\,}}\; \\&+\;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,b\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ d \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,c\,}}\\ \;\;\;\; \vdots \\ \;\;\;\; \vdots \end{array}\)

西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen

图一

我们现在习惯将足码左右并列写在下标,范德蒙则是直接将足码上下表示,

所以,\(\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\) 要解读成今日行列式的第 \(\alpha\) 列第 \(a\) 行之元。

因此,我们可以将范德蒙的符号 \(\frac{{\left. {\alpha \;} \right|\;\beta }}{{\left. {a\;} \right|\;b}}\) 视为只写出主对角线之元的行列式 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{\alpha a}}}&{}\\ {}&{{t_{\beta b}}} \end{array}\,} \right|\),

主对角线确立后,其余各元的足码也可以随之确定了

(第一、二列的第一个足码分别都是 \(\alpha\) 与 \(\beta\),第一、二行的第二个足码则分别都是 \(a\) 与 \(b\)),

即 \(\frac{{\left. {\alpha \;} \right|\;\beta }}{{\left. {a\;} \right|\;b}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ b \end{array}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ a \end{array}\)

用今日的行列式符号来表示就是 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{\alpha a}}}&{{t_{\alpha b}}}\\ {{t_{\beta a}}}&{{t_{\beta b}}} \end{array}\,} \right| = {t_{\alpha a}} \cdot {t_{\beta b}} – {t_{\alpha b}}{t_{\beta a}}\)。

在 \(\left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}\) 的情形中,

若我们将 \(\alpha\) 与 \(a\) 代为 \(1\),\(\beta\) 与 \(b\) 代为 \(2\),\(\gamma\) 与 \(c\) 代为 \(3\),

则 \(\left. {\left. {\frac{{\,1\,}}{{\,1\,}}} \right|\frac{{\,2\,}}{{\,2\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,3\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,2\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,3\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,1\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,1\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,2\,}}\)

就是今日三阶行列式依第一列降阶展开的结果,

即 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{11}}}&{{t_{12}}}&{{t_{13}}}\\ {{t_{21}}}&{{t_{22}}}&{{t_{23}}}\\ {{t_{31}}}&{{t_{32}}}&{{t_{33}}} \end{array}\,} \right| = {t_{11}}\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{22}}}&{{t_{23}}}\\ {{t_{32}}}&{{t_{33}}} \end{array}\,} \right| + {t_{12}}\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{23}}}&{{t_{21}}}\\ {{t_{33}}}&{{t_{31}}} \end{array}\,} \right| + {t_{13}}\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{21}}}&{{t_{22}}}\\ {{t_{31}}}&{{t_{32}}} \end{array}\,} \right|\)

平心而论,范德蒙的符号确实是比今日的行列式符号简洁,在降阶展开的操作上,也十分便捷。

范德蒙展开的方法只有两个简单的步骤:

(1)  以三阶为例,第一步是写出 \(\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {} \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,\,}}\),然后下方依序填入 \(123\)、\(231\)、\(312\),每次都将数字往前移动一位,而最左边的数字则移到最右边,直至重複为止。

(2)  决定每一项的运算符号,偶数阶的展开是 \(+ – + – + -\cdots\),奇数阶则统统为 \(+\)。

读者不妨分别用范德蒙的与今日的符号展开四阶行列式,然后再比较两者的优缺点。

有了符号与定义后,范德蒙开始推导相关的性质与公式。

比如说,「行列式中任两行互换,其值差一个负号」:

西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen

又如「行列式中任两行或任两列相同,其值为0」:

西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen

范德蒙在推出需要的公式后,才将他的符号应用到方程组的求解,

写出今日所谓的「克拉玛公式」(见图二、图三):

西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen

我们可以清楚地看到,范德蒙的公式和今日的公式只差在符号的不同,但就一般性或抽象化的程度来说,和今日的版本是一致的。虽然范德蒙只写出二阶与三阶的克拉玛公式,但其方法可以推广,且更重要的是,可以简洁地表示任意高阶的克拉玛公式,这比起前人来说(参阅本网站克拉玛公式的相关文章),实在是一大进步。

范德蒙这篇论文共有17页,到克拉玛公式恰好佔了一半的篇幅。剩下的内容,范德蒙继续推导相关的公式、提出不同的行列式展开式求法,并将研究的目标转向高次方程组的求解。这剩下的部分,就留给有兴趣的读者自己研究了。

西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen

图二

西方行列式的发展:范德蒙的研究(The Developmen

图三

最后,请各位读者再将目光回到图三,笔者在〈西方行列式的发展:范德蒙的生平(2)〉一文中有提到,「范德蒙行列式」这名称是个美丽的错误,而图三,很可能就是这美丽错误的源头。

若我们将图三中方程组的係数写成一个行列式,就会得到 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {_1^1}&{_2^1}&{_3^1}\\ {_1^2}&{_2^2}&{_3^2}\\ {_1^3}&{_2^3}&{_3^3} \end{array}\,} \right|\),

勒贝格 (Henri Léon Lebesgue, 1875-1941)推测后人很可能就是将上面的足码理解成指数,

得到 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1}^1}&{{t_2}^1}&{{t_2}^1}\\ {{t_1}^2}&{{t_2}^2}&{{t_3}^2}\\ {{t_1}^3}&{{t_2}^3}&{{t_3}^3} \end{array}\,} \right| = {t_1} \cdot {t_2} \cdot {t_3} \cdot \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ {{t_1}}&{{t_2}}&{{t_3}}\\ {{t_1}^2}&{{t_2}^2}&{{t_3}^2} \end{array}\,} \right|\),

如此一来,今日所称的「范德蒙行列式」就现身了,即 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ {{t_1}}&{{t_2}}&{{t_3}}\\ {{t_1}^2}&{{t_2}^2}&{{t_3}^2} \end{array}\,} \right|\)。

连结:西方行列式的发展:柯西的研究

参考文献:

Vandermonde, Alexandre-Théophile (1772). “Mémoire sur l’Élimination”, http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?O=30000000035711Ycart, Bernard and Kuntzmann, Laboratoire Jean (2013). “A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant”, Revue d’Histoire des Mathématiques, 9(1), pp.43-77.( http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/68/99/43/PDF/VD_BY.pdf)杨浩菊 (2004). 《行列式理论历史研究》,西北大学博士论文。
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